Belajar Materi Sekolah Jadi Mudah

Contoh Soal Permutasi dan Pembahasan

Contoh Soal Permutasi dan Pembahasannya

Permutasi adalah banyak susunan berbeda dari suatu elemen dengan memperhatikan urutan.

Sebelum lebih jauh, kita harus memahami terlebih dahulu tentang faktorial. Mengapa demikian? Karena rumus faktorial akan digunakan pada rumus permutasi.

Lalu apa itu faktorial? Faktorial merupakan hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n hingga menjadi 1. Contohnya: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Perhatikan pada contoh di atas! Simbol Penulisan Faktorial ditulis dengan n! dan dibaca n faktorial.

Untuk contoh umumnya:

n! = n . (n – 1) ! . (n – 2) ! . (n – 3)! . … . 1 = n . (n – 1)!

Permutasi

Permutasi adalah susunan unsur berbeda yang dibentuk dari n unsur, diambil dari n unsur atau sebagian unsur.

Rumus Permutasi

Setelah mempelajari rumus faktorial, seharusnya kamu sudah langsung bisa memahami rumus dari permutasi berikut ini.

Rumus Permutasi Umum (n < r)

Keterangan:

  • P = permutasi
  • n = jumlah kejadian yang bisa dipilih
  • r = jumlah kejadian yang harus dipilih
  • ! = simbol faktorial

Selain itu, terdapat empat rumus lain sebagai berikut:

Rumus Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen (n = r)

nPn = n!

Rumus Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama

Keterangan:

  • n    = banyaknya elemen seluruhnya
  • k = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama
  • k2  = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama
  • kt   = banyaknya elemen kelompok kt yang sama
  • t = 1,2,3,…

Rumus Permutasi Siklis atau melingkar

Pn = (n-1)!

Rumus Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

Contoh Soal Permutasi dan Jawabannya

Contoh Soal 1
Ada berapa cara menyusun kata “MATEMATIKA”?

Pembahasan:

Diketauhi:
Banyak huruf = 10
Huruf-huruf yang sama:
Huruf M = 2
Huruf A = 3
Huruf T = 2

Jawab:


Contoh Soal 2
Banyak cara memilih 3 orang dari 10 orang menjadi pengurus koperasi adalah …

Pembahasan:

Diketauhi:
Jumlah yang bisa dipilih (n) = 10
Jumlah yang harus dipilih (r) = 3

Jawab:


Contoh Soal 3
Rudi, Budi, dan Anto dipanggil secara bersamaan ke panggung untuk menerima penghargaan. Berapakah urutan berdiri yang mungkin saat ketiganya berada di panggung?

Pembahasan:

3P3 = 3!
3P3 = 3 × 2 × 1
3P3 = 6

Jadi, banyak urutan berdiri yang mungkin saat ketiganya berada di panggung ada 6 cara.

Contoh Soal 4
Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan …

Pembahasan:

Diketauhi:
n = 7

Jawab:
P7 = (7-1)!
= 6!
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara
Jadi, ada 720 cara untuk mereka menepati tempat duduk dengan urutan yang berlainan.

Contoh Soal 5
Didalam suatu kompetisi “DRUMBAND” yang diikuti 40 peserta akan memperebutkan juara I, juara II, juara III. Berapa banyak macam susunan pemenang yang terjadi?

Pembahasan:

Diketauhi:
jumlah peserta (n) = 40
jumlah posisi juara (r) = 3

Jawab:
40P3 = 40! / (40-3)!
= 40! / 37!
= 40 x 39 x 38 x 37! / 37!
= 59.280
Jadi, banyak macam susunan pemenang yang terjadi ada 59.280 cara.

Contoh Soal 6
Sebuah sekolah akan menyusun tim olahraga yang terdiri dari 5 orang siswa yang akan dicalonkan untuk menjadi pemain. Namun hanya 3 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut?

Pembahasan:

Diketauhi:
n = 5
r = 3

Jawab:
5P3 = 5! / (5-3)!
= 5! / 2!
= 5.4.3.2! / 2! = 60

Dengan demikian terdapat 60 cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tim tersebut.

Contoh Soal 7
Pada kompetisi bola basket yang diikuti oleh regu, panitia menyediakan 6 tiang bendera. Banyaknya susunan yang berbeda untuk memasang bendera tersebut adalah … cara.

Pembahasan:

Diketauhi:
n = 6

Jawab:
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara
Jadi, banyaknya sususan yang berbeda untuk memasang tiang tersebut ada 720 cara.

Contoh Soal 8
Sebuah organisasi akan memilih ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara .Jika ketua dan wakil ketua dipilih dari 5 orang sedangkan sekretaris dan bendahara dipilih dari 4 orang yang lain, banyaknya susunan pengurus yang terpilih adalah …

Pembahasan:

Jawab:
Memilih ketua dan wakil ketua dari 5 orang
n = 5 (dari 5 orang)
r = 2 (dari ketua dan wakil
C1 : ketua dan wakil
C1 = 5P2 = 5! / (5-2)! = 5.4.3! / 3! = 20

Memilih sekretaris dan bendahara dari 4 orang yang lain
n = 4 (dari 4 orang)
r = 2 (dari Sekretaris dan bendahara)
C2 : Sekretaris dan bendahara
C2 = 4P2 = 4! / (4-2)! = 4.3.2! / 2! = 12

Banyak susunan pengurus yang terpilih
C1 x C2 = 20 x 12 = 240

Maka, banyak sususan pengurus yang terpilih adalah 240 susunan.

Contoh Soal 9
Jika 2 bola biru sejenis, 3 bola merah yang sejenis, dan 4 bola kuning yang sejenis disusun secara teratur dalam satu baris, maka banyak susunan adalah…

Pembahasan:

Diketauhi:
Jumlah semua bola (n) = 9
bola biru (n1) = 2
bola merah (n2) = 3
bola kuning (n3) = 4

Jawab:


Contoh Soal 10
Terdapat 4 pasang suami istri yang makan bersama di meja bundar. Banyak susunan duduk yang mungkin jika setiap pasang suami istri duduk bersebelahan adalah …

Pembahasan:
Karena harus suami istri harus bersebelahan maka hal ini seperti 4 orang duduk secara melingkar. Gunakan rumus permutasi siklis terlebih dahulu.
P4 = (4-1)! = 3!

Selanjutnya, hitung banyak susunan apabila keempat pasang suami istri bertukar posisi
3! . (2! . 2! . 2! . 2! ) = 6 . (2 . 2 . 2 . 2) = 6 . 16 = 96

Jadi, banyak sususan duduk yang mungkin adalah 96.

Contoh Soal 11
Bilangan bulat enam angka yang lebih kecil daripada 200.000 dan dapat dibentuk dari semua angka 1, 2, 4, 5, dan 6 dengan angka 1 muncul tepat dua kali ada sebanyak …

Pembahasan:
Secara logika, agar terbentuk bilangan yang lebih kecil daripada 200.000 maka angka pertama adalah 1, selebihnya diisi oleh angka 1, 2, 4, 5 dan 6.

Biar lebih mudah memahaminya, bayangkan ada 6 kotak dan kotak pertama sudah berisi angka 1. Nah, sekarang tersisa 5 kotak kosong dan kotak tersebut akan diisi dengan 5 angka yang tersedia, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Sehingga diketahui:

  • n = 5
  • k = 5 (jumlah kotak kosong)

Kemudian gunakan permutasi sehingga didapat hasil sebagai berikut:
5P5 = 5! / (5-5)!
= 5! / 0!
= 5 . 4 . 3 . 2 . 1
= 120

Contoh Soal 12
Bilangan lima angka yang dapat dibentuk dari 2, 4, dan 8 dengan angka 4 dan 8 yang muncul tepat dua kali ada sebanyak …

Pembahasan:

Diketauhi:
n = 5
Angka 4 dan 8 hanya muncul dua kali, maka:
n1 = 2
n2 = 2

Jawab:
5P2,2 = 5! / 2! . 2!
= 5 x 4 x 3 x 2! / 2! . 2 x 1
= 60 / 2
= 30

Exit mobile version