Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sebuah persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear yang masing-masing persamaan memiliki dua variabel yang berpangkat satu.
Untuk memahaminya, silakan pelajari terlebih dahulu konsep persamaan linear dua variabel sebagai berikut.
ax + by = cKeterangan:
- x, y adalah variabel
- a adalah koefisien variabel x
- b adalah koefisien variabel y
- c adalah konstanta
- Dengan catatan : a, b adalah bilangan real dan a>0, b>0
Sesuai konsep di atas, persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan aljabar yang terdiri atas dua variabel, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Pada konsep di atas, kedua variabelnya adalah x, y.
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV):
Beberapa metode untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linear dua variabel.
- Metode eliminasi
- Metode subsitusi
- Metode eliminasi-subsitusi
- Metode determinan matriks
Umumnya untuk anak SMP dan SMA kelas 10 wajib bisa menggunakan metode eliminasi, metode subtitusi, dan metode gabungan eliminasi dan subtitusi.
Contoh Soal 1
1. Nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan x + 2y = 4 dan x – y = 1 adalah …
a. (2,1)
b. (1,2)
c. (-1,2)
d. (2,-1)
Jawab: a. (2,1)
Pembahasan:
x + 2y = 4 (persamaan 1)
x – y = 1 (persamaan 2)
_____________ –
3y = 3 (bagi 3 pada kedua ruas)
y = 1
Subtitusikan y ke persamaan 1
x + 2(1) = 4
x + 2 = 4
x = 2
Jadi nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan di atas adalah (2,1).
Contoh Soal 2
2. Nilai x yang memenuhi persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 adalah …
a. 3
b. 2
c. -3
d. -2
Jawab: a. 3
Pembahasan:
2x + 3y = 6 | ×1 |
x – y = 3 | ×3 |
2x + 3y = 6
3x – 3y = 9
_________ +
5x = 15
x = 3
Jadi jawabannya yang tepat untuk nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 3.
Contoh Soal 3
3. Carilah penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi!
a. x – y = 8 dan x + y = 2
b. 3x – 2y = 10 dan 4x – 3y = 15
Pembahasan:
a. Penyelesain dari x – y = 8 dan x + y = 2
Pertama, eleminasi x
x – y = 8
x + y = 2
_________ –
-2y = 6
y = -3
Selanjutnya eleminasi y
x – y = 8
x + y = 2
_________ +
2x = 10
x = 5
Jadi himpunan penyelesainnya adalah {5, -3}.
b. Penyelesain dari 3x – 2y = 10 dan 4x – 3y = 15
Pertama, eleminasi y
3x – 2y = 10 |x3| 9x – 6y = 30
4x – 3y = 15 |x2| 8x – 6y = 30
_______________________________ –
x = 0
Selanjutnya eleminasi x
3x-2y = 10 |x4| 12x-8y = 40
4x-3y = 15 |x3| 12x-9y = 45
______________________________ –
y = -5
Jadi himpunan penyelesainnya adalah {0, -5}.
Contoh Soal 4
4. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut dengan metode subtitusi!
a. x + y= 2 dan x – y = 8
b. x – 2y = 5 dan x + y = 11
Pembahasan:
a. Diketauhi:
x + y= 2 … (Persamaan 1)
x – y = 8 … (Persamaan 2)
Langkah pertama, buatlah persamaan 3
x + y = 2
x = 2 – y … (Persamaan 3)
Lengkah kedua, subtitusikan persamaan 3 kedalam persamaan 2
x – y = 8
2 – y – y = 8
2 – 2y = 8
-2y = 8 – 2
-2y = 6
y = 6/-2
y = -3
Terakhir, subtitusikan nilai y ke persamaan 1
x + y = 2
x + (-3) = 2
x = 2 + 3
x = 5
Jadi himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah {5, -3}.
b. Diketauhi
x – 2y = 5 …. (Persamaan 1)
x + y = 11 …. (Persamaan 2)
Buatlah persamaan 3
x – 2y = 5
x = 5 + 2y … (Persamaan 3)
Berikutnya, subtitusikan persamaan 3 kedalam persamaan 2
x + y = 11
5 + 2y + y = 11
5 + 3y = 11
3y = 11 – 5
3y = 6
y = 6/3
y = 2
Terakhir, subtitusikan nilai y kedalam persamaan 1
x + 2y = 5
x + 2(2) = 5
x + 4 = 5
x = 5 – 4
x = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1, 2}.
Contoh Soal 5
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini dengan metode gabungan (eliminasi-subtitusi)!
a. 2x + y = 5 dengan 3x + 2y = 8
b. 3x + 5y = 21 dengan 2x – 3y = -5
Pembahasan:
a. 2x + y = 5 dengan 3x + 2y = 8
2x + y = 5 |x3| 6x + 3y = 15
3x + 2y = 8 |x2| 6x + 4y = 16
_______________________________ –
y = 1
Subtitusikan nilai y kedalam persamaan 2
3x + 2y = 8
3x + 2(1) = 8
3x + 2 = 8
3x = 6
x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2, 1}.
b. 3x + 5y = 21 dengan 2x – 3y = -5
3x + 5y = 21 |x2| 6x + 10y = 42
2x – 3y = -5 |x3| 6x – 9y = -15
_______________________________ –
19y = 57
y = 57/19
y = 3
Selanjutnya subtitusikan nilai y ke persamaan 1
3x + 5y = 21
3x + 5(3) = 21
3x + 15 = 21
3x = 21 – 15
3x = 6
x = 2
Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {2, 3}.
Contoh Soal 6
6. Diketahui (x, y) memenuhi persamaan 74x-1 = 7y dan 27x+1 = 9y. Maka x + y = ….
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Jawab: d. 4
Pembahasan:
Dari persamaan pertama didapat
74x-1 = 7y
Ingat bahwa jika af(x) = ag(x) berlaku f(x) = g(x).
Sehingga didapat 4x – 1 = y
Selanjutnya dari persamaan kedua didapat
27x+1 = 9y
(33)x+1 = (32)y
33x+3 = 32y
Ingat bahwa jika af(x) = ag(x) berlaku f(x) = g(x).
Sehingga didapat 3x + 3 = 2y
Perhatikan bahwa y = 4x – 1, maka
3x + 3 = 2(4x – 1)
3x + 3 = 8x – 2
3x-8x = -2-3
-5x = -5
x = 1
Selanjutnya didapat
y = 4x – 1 = 4(1) – 1 = 4 – 1 = 3
Sehingga
x + y =1 + 3 = 4
Contoh Soal 7
7. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan 3x – y = 16 dan x + y = 12, maka nilai x + 2y adalah …
Jawab:
3x – y = 16 … (1)
x + y = 12 … (2)
Eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2)
3x – y = 16
x + y = 12
________ +
4x = 28
x = 7
Mencari nilai y dengan melakukan substitusi x = 7 ke dalam persamaan (1)
3x – y = 16
3(7) – y = 16
21 – y = 16
y = 21 -16
y = 5
Menentukan nilai x + 2y
x + 2y
7 + 2(5)
7 + 10 = 17
Jadi, nilai x + 2y adalah 17.
Contoh Soal 8
8. Diketahui sistem persamaan linear dua variabel berupa -x + 4y = 8 dan 2x – y = 12. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut dengan metode substitusi!
Jawab:
-x + 4y = 8 ⇒ x = 4y – 8 …(1)
2x – y = 12 … (2)
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
2x – y = 12
2(4y-8) – y = 12
8y – 16 – y = 12
7y = 28
y = 4
Substitusikan nilai y ke persamaan (1)
x = 4y-8
x = 4(4)-8
x = 8
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 8 dan y = 4.
Contoh Soal 9
9. Tentukanlah nilai dari x dan y pada sistem persamaan linear dua variabel berikut:
2x + 3y = 7
4x − 2y = 10
Jawab:
Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan menggunakan metode eliminasi.
Pertama, kita akan mengeliminasi variabel x dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 1.
2x + 3y = 7 |x2| 4x + 6y = 14
4x − 2y = 10 |x1| 4x – 2y = 10
________________________________ –
8y = 4
y = 4/8
y = 1/2
Kedua, subtitusikan nilai y ke dalam persamaan 2.
4x – 2(1/2) = 10
4x – 1 = 10
4x = 11
x = 11/4
Jadi, nilai x dan y pada sistem persamaan ini adalah x = 11/4 dan y = 1/2
