Belajar Materi Sekolah Jadi Mudah

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel beserta Pembahasan

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Beserta Pembahasan

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sebuah persamaan yang terdiri atas tiga persamaan linear yang masing-masing persamaan memiliki tiga variabel yang berpangkat satu.

Untuk lebih jelasnya pahami dahulu konsep persamaan linear tiga variabel sebagai berikut.

ax + by + cz = d

Keterangan:

  • x, y, z adalah variabel
  • a adalah koefisien variabel x
  • b adalah koefisien variabel y
  • c adalah koefisien variabel z
  • d adalah konstanta
  • Dengan catatan : a, b, c adalah bilangan real dan a>0, b>0, c>0

Sesuai konsep di atas, persamaan linear tiga variabel adalah suatu persamaan aljabar yang terdiri atas tiga variabel, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Pada konsep di atas, ketiga variabel tersebut adalah x, y, z.

Jadi apakah kamu sudah paham dengan konsepnya?

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV):

Cara menyelesaikan soal sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode berikut.

  1. Metode eliminasi
  2. Metode subsitusi
  3. Metode eliminasi-subsitusi
  4. Metode determinan matriks

Untuk metode yang wajib kamu kuasai pada kelas 10 adalah metode gabungan eliminasi dan subsitusi. Berikut contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel.

Contoh Soal 1

Diketahui sistem persamaan linear

x + y - z = -3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4

Nilai dari x + y + z = …

A. 3                        C. 5                       E. 8
B. 4                        D. 6          

Pembahasan:

Kita beri nama setiap persamaan pada sistem terlebih dahulu.

x + y – z = -3 (… 1)

x + 2y + z = 7 (… 2)

2x + y + z = 4 (… 3)

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2).

Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3).

Selanjutnya, eliminasi x dari persamaan (4) dan (5) untuk mendapatkan nilai y.

Substitusi y=2 pada persamaan (5) untuk memperoleh

Terakhir, substitusi x=−1 dan y=2 pada persamaan (1): x+y−z=−3 untuk mendapatkan

Jadi nilai x + y + z = -1 + 2 + 4 = 5 (Jawaban C).


Contoh Soal 2

Selesaikan persamaan liner tiga variabel di bawah ini!

2x + 3y — z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

2x + 3y — z = 20

3x + 2y + z = 20

x + 4y + 2z = 15

Pembahasan:

Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3)

2x + 3y — z = 20 ………………………..(1)

3x + 2y + z = 20 ………………………..(2)

x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z

Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan

2x + 3y — z = 20

3x + 2y + z = 20_____ +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ………………….(4)

Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh

6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15____ _

5x = 25

x = 5

Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2)

3x + 2y + z = 20

3.5 + 2.3 + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}


Contoh Soal 3

Temukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut!

x + y + z = -6

x + y – 2z = 3

x – 2y + z = 9

x + y + z = -6 … (1)

x + y – 2z = 3 … (2)

x – 2y + z = 9 … (3)

Tentukan persamaan x melalui (1)

x + y + z = -6 ⇔ x = -6 – y – z … (4)

Substitusikan (4) ke (2)

x + y – 2z = 3

-6 – y – z + y – 2z = 3

-6 – 3z = 3

3z = -9

z = -3

Substitusikan (4) ke (3)

x – 2y + z = 9

-6 – y – z – 2y + z = 9

-6 – 3y = 9

– 3y = 15

y = 15/(-3)

y = -5

Substitusikan z dan y ke (1)

x + y + z = -6

x – 5 – 3 = -6

x – 8 = -6

x = 8 – 6

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -5, -3)}


Contoh Soal 4

Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode eliminasi dan substitusi ?

x + y - z = -3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4

Pembahasan:

x + y – z = -3 ….(1)
x + 2y + z = 7 ….(2)
2x + y + z = 4 ….(3)

Langkah 1 : Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x + y – z = -3
x + 2y + z = 7
____ +
2x + 3y = 4 ….(4)

Langkah 2 : Eliminasi persamaan (1) dan (3)
x + y – z = -3
2x + y + z = 4
____ +
3x + 2y = 1 ….(5)

Langkah 3 : Eliminasi persamaan (4) dan (5)
2x + 3y = 4 |x3| ⇔ 6x + 9y = 12
3x + 2y = 1 |x2| ⇔ 6x + 4y = 2
_
5y = 10
y = 10/5
y = 2

Langkah 4 : Substitusi y = 2 ke persamaan (4)
⇔ 2x + 3y = 4
⇔ 2x + 3(2) = 4
⇔ 2x + 6 = 4
⇔ 2x = 4 – 6
⇔ 2x = -2
⇔ x = -1

Langkah 5 : Substitusi x = -1 dan y = 2 pada persamaan(1)
⇔ x + y – z = -3
⇔ -1 + 2 – z = -3
⇔ 1 – z = -3
⇔ – z = -3 – 1
⇔ – z = -4
⇔ z = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 2, 4)}


Contoh Soal 5

Diberikan sistem persamaan berikut.

Nilai x adalah…

Pembahasan:


Contoh Soal 6

Diketahui  mempunyai penyelesaian (x,y,z). Hasil kali x,y,z adalah…

Pembahasan:


Contoh Soal 7

Perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

Jika himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(−2,−3,4)}, maka nilai 2a + b + 3c = …

Pembahasan:

Exit mobile version