Logaritma

Pengertian Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan untuk mencari besar pangkat dari suatu bilangan pokok. Jika Sebuah bilangan eksponen atau perpangkatan A^c = b, maka dalam logaritma akan dinyatakan menjadi ^alog b = c, dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1.

Pada penulisan logaritma ^alog b = c, a merupakan bilangan pokok dan b adalah bilangan numerus atau bilangan yang dicari besar pangkatnya dan c adalah nilai logaritmanya. Jika nilai a atau bilangan pokok sama dengan 10 maka 10 tidak dituliskan, sehingga hanya akan dituliskan menjadi log b = c.

Contohnya : log 100 = 2

Untuk memahimnya lebih lanjut, berikut sejumlah contoh logaritma:

Perpangkatan	Contoh Logaritma
31	3log 3 = 1
30	3log 1 = 0
34	3log 81 = 4
3-4	3log -81 = -4
93/4	9log3√3 = 3/4
103	log 1000 = 3

Sifat-sifat Logaritma

1. Sifat Logaritma dari Perkalian

Logaritma dari perkalian adalah hasil dari penjumlahan dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya tetap atau faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:

^alog p.q = ^alog p + ^alog q

dengan syarat a > 0, a ≠ 1, p > 0, q > 0.

2. Perkalian Logaritma

Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model dari sifat logaritmanya:

^alog b x ^blog c = ^alog c

dengan syarat a > 0, a ≠ 1.

3. Sifat Logaritma dari pembagian

Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut model bentuknya:

^alog  = ^alog p – ^alog q

dengan syarat a > 0, a ≠ 1, p > 0, q > 0.

4. Sifat Logaritma berbanding terbalik

Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut model rumusnya:

^alog b = 

dengan syarat a > 0, a ≠ 1.

5. Logaritma berlawanan tanda

Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut adalah sifatnya:

^alog  = – ^alog 

dengan syarat a > 0, a ≠ 1, p > 0, q > 0.

6. Sifat Logaritma dari perpangkatan

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu pangkat atau eksponen dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut model rumusnya:

^alog b^p = p. ^alog b

dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0

7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma

Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut model rumusnya:

dengan syarat a > 0, a ≠ 1.

8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus

Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut rumus sifat logaritma nya:

^alog a^p = p

dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1.

9. Perpangkatan logaritma

Suatu bilangan berpangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut konsepnya perpangkatan logaritma:

dengan syarat a > 0, a ≠ 1, m > 0.

10. Mengubah basis logaritma

Suatu logaritma dapat dibagi menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:

dengan syarat a > 0, a ≠ 1, p > 0, q > 0

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hitunglah nilai dari logaritma dibawah ini :

⁴log 32 – ⁴log 2

Pembahasan

⁴log 32 – ⁴log 2

⇔ ⁴log (32/2)
⇔ ⁴log 16
⇔ ²²log 2⁴ = 4/2 x ²log 2 = 2

2. Hitunglah nilai dari logaritma dibawah ini :
a. ³log 9 + ³log 27
b. ³log 5 x ³log 27

Pembahasan

³log 9 + ³log 27
⇔ ³log 9.27
⇔ ³log 243 = 5

b. ³log 5 x ³log 27

³log 5 x ³log 27
⇔ ³log 27
⇔ ³log 3³ = 3

3. Berapakah nilai dari log 25 + log 10 + log 40 ?

Pembahasan

Ingat! Apabila bilangan pokok tidak dituliskan, maka nilainya adalah 10.

log 25 + log 10 + log 40

⇔ log (25 x 10 x 40)
⇔ log 10000
⇔ log 10⁴ = 4

4. Jika nilai log 6 = a dan log 4 = b. Carilah nilai dari log 144!

Pembahasan

log 144 = log (36 x 4)
⇔ log 6² + log 4
⇔ 2a + b