Daftar Isi
- 1 Pengertian Logaritma
- 2 Sifat-sifat Logaritma
- 2.1 1. Sifat Logaritma dari Perkalian
- 2.2 2. Perkalian Logaritma
- 2.3 3. Sifat Logaritma dari pembagian
- 2.4 4. Sifat Logaritma berbanding terbalik
- 2.5 5. Logaritma berlawanan tanda
- 2.6 6. Sifat Logaritma dari perpangkatan
- 2.7 7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma
- 2.8 8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus
- 2.9 9. Perpangkatan logaritma
- 2.10 10. Mengubah basis logaritma
- 3 Contoh Soal dan Pembahasan
Pengertian Logaritma
Logaritma adalah invers dari perpangkatan yang digunakan untuk mencari eksponen dari suatu bilangan pokok. Jika suatu bilangan dipangkatkan dengan eksponen atau perpangkatan ac = b, maka dalam logaritma akan dinyatakan sebagai alog b = c, dengan syarat a>0 dan a ≠ 1.
Dalam penulisan logaritma alog b = c, a adalah bilangan pokok, b adalah bilangan numerus atau bilangan yang eksponennya dicari, dan c adalah nilai logaritma. Jika nilai a atau bilangan pokok sama dengan 10, maka 10 tidak dituliskan, sehingga penulisan logaritma menjadi log b = c.
Contohnya : log 100 = 2
Untuk memahami lebih lanjut, berikut adalah beberapa contoh logaritma:
Perpangkatan | Contoh Logaritma |
31 | 3log 3 = 1 |
30 | 3log 1 = 0 |
34 | 3log 81 = 4 |
3-4 | 3log -81 = -4 |
93/4 | 9log3√3 = 3/4 |
103 | log 1000 = 3 |
Sifat-sifat Logaritma
1. Sifat Logaritma dari Perkalian
Logaritma dari perkalian adalah hasil dari penjumlahan dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya tetap atau faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya:
alog p.q = alog p + alog q
dengan syarat a > 0, a ≠ 1, p > 0, q > 0.
2. Perkalian Logaritma
Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model dari sifat logaritmanya:
alog b x blog c = alog c
dengan syarat a > 0, a ≠ 1.
3. Sifat Logaritma dari pembagian
Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut model bentuknya:
alog = alog p – alog q
dengan syarat a > 0, a ≠ 1, p > 0, q > 0.
4. Sifat Logaritma berbanding terbalik
Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut model rumusnya:
alog b =
dengan syarat a > 0, a ≠ 1.
5. Logaritma berlawanan tanda
Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut adalah sifatnya:
alog = – alog
dengan syarat a > 0, a ≠ 1, p > 0, q > 0.
6. Sifat Logaritma dari perpangkatan
Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu pangkat atau eksponen dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut model rumusnya:
alog bp = p. alog b
dengan syarat a > 0, a ≠ 1, b > 0
7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma
Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut model rumusnya:
dengan syarat a > 0, a ≠ 1.
8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus
Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut rumus sifat logaritma nya:
alog ap = p
dengan syarat a > 0 dan a ≠ 1.
9. Perpangkatan logaritma
Suatu bilangan berpangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut konsepnya perpangkatan logaritma:
dengan syarat a > 0, a ≠ 1, m > 0.
10. Mengubah basis logaritma
Suatu logaritma dapat dibagi menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut:
dengan syarat a > 0, a ≠ 1, p > 0, q > 0
Contoh Soal dan Pembahasan
- Hitunglah nilai dari logaritma dibawah ini :
4log 32 – 4log 2
Pembahasan
4log 32 – 4log 2
⇔ 4log (32/2)
⇔ 4log 16
⇔ 22log 24 = 4/2 x 2log 2 = 2
2. Hitunglah nilai dari logaritma dibawah ini :
a. 3log 9 + 3log 27
b. 3log 5 x 3log 27
Pembahasan
3log 9 + 3log 27
⇔ 3log 9.27
⇔ 3log 243 = 5
b. 3log 5 x 3log 27
3log 5 x 3log 27
⇔ 3log 27
⇔ 3log 33 = 3
3. Berapakah nilai dari log 25 + log 10 + log 40 ?
Pembahasan
Ingat! Apabila bilangan pokok tidak dituliskan, maka nilainya adalah 10.
log 25 + log 10 + log 40
⇔ log (25 x 10 x 40)
⇔ log 10000
⇔ log 104 = 4
4. Jika nilai log 6 = a dan log 4 = b. Carilah nilai dari log 144!
Pembahasan
log 144 = log (36 x 4)
⇔ log 62 + log 4
⇔ 2a + b