Limit fungsi aljabar merupakan dasar matematika untuk mempelajari Integral Fungsi, Limit Fungsi Tak Hingga, Limit Fungsi Trigonometri, dan Fungsi Turunan (diferensial).
Penerapan Limit Fungsi Aljabar dalam kehidupan sehari-hari memang sulit untuk kita lihat secara langsung tapi sebenarnya sangat erat kaitannya dengan kehidupan. Hanya saja kita belum tahu lebih jauh, contoh sederhananya adalah pembuatan tanggal kedaluarsa makanan dan menghitung kecepatan suatu kendaraan.
Atau lebih sederhana lagi saat menimbang berat badan, ketika kita melihat hasilnya pada timbangan akan terlihat 62,5 kg. Sebenarnya hasil 62,5 kg ini bukanlah hasil pengukuran yang paling akurat tetapi dapat mewakili hasil pengukuran, karena berat kita mendekati 62,5 kg. Kata “mendekati” merupakan salah satu kata kunci dalam mempelajari limit fungsi.
Cara menyelesaikan soal-soal limit sebenarnya tidaklah sulit apabila kita paham aturan-aturan pada limit fungsi aljabar. Untuk memudahkan kamu memahaminya silahkan pahami step by step pada pembahasan soal limit fungsi aljabar di bawah ini.
Tapi sebelum itu, pahami catatan sederhana tentang limit fungsi agar memudahkanmu dalam menyelesaikan masalah limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri.
Berdasarkan definisi limit, Jika nilai Limit Kiri = Limit Kanan = L secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.
Nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$.
Langkah untuk menyelesaikan limit fungsi baik itu limit fungsi aljabar atau trigonometri dan limit tak hingga, langkah awalnya adalah substitusi langsung. Apabila setelah subtitusi mendapatkan hasil bentuk tak tentu seperti $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\infty – \infty$, $0^{0}$, atau $\infty^{\infty}$ maka harus melakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan, mengalikan dengan akar sekawan, atau dengan manipulasi aljabar lainnya selama tidak menyalahi aturan bermatematika.
Cara Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar
1. Pemfaktoran
Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan antara lain:
2. Mengalikan Akar Sekawan
Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari fungsinya:
3. Teorema Limit Fungsi
Beberapa teorema limit fungsi bisa kita gunakan dalam menyelesaikan Soal Limit Fungsi. Andaikan $n$ bilangan bulat positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ adalah fungsi yang mempunyai limit di $c$. Maka berlaku:
4. Menggunakan Turunan (Aturan L’Hospital)
Aturan L’Hostpital adalah cara alternatif untuk menyelesaikan limit fungsi. Untuk menggunakan aturan ini, kita perlu mempelajari Turunan Fungsi terlebih dahulu, jika belum maka tidak dianjurkan untuk menggunakannya.
5. Suatu fungsi ff dikatakan kontinu dititik aa jika limx→af(x)=f(a)limx→af(x)=f(a)
Definisi di atas menjelaskan bahwa sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:
Jika salah satu saja dari syarat di atas tidak dipenuhi, Maka $f$ dikatakan tidak kontinu di $x=a$.
Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar SMA
Soal Limit Fungsi Aljabar di bawah merupakan hasil sadur dari soal UN (Ujian Nasional), soal Ujian Mandiri, soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal Ujian Sekolah, dan soal simulasi dari berbagai bimbingan belajar.
Selain itu, pada beberapa soal bisa dikerjakan dengan lebih cepat menggunakan Aturan L’Hospital dan dapat kamu lihat pada pembahasannya.
Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Jawabannya
Contoh Soal 1
Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Pembahasan:
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4}=\dfrac{1}{3}$. Jika kita substitusi langsung nilai $x=4$ maka nilai $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$. Untuk $x=4$
$\begin{align} \sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5} & = 0 \\ \sqrt{4a-3}-\sqrt{4b+5} & = 0\\ \sqrt{4a-3} & = \sqrt{4b+5} \\ 4a-3 & = 4b+5 \\ 4a-4b & = 8 \\ a- b & = 2 \end{align}$
Jika soal limit di atas kita kalikan dengan akar sekawan menjadi seperti berikut ini:$\begin{align} \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{ax-3}-\sqrt{bx+5}}{x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}}{\sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5}} &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left(ax-3 \right)-\left(bx+5 \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ ax-3 – bx-5}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( a-b \right)x – 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2x – 8}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 \left( x – 4 \right) }{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} \right) } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{ax-3}+\sqrt{bx+5} } &= \dfrac{1}{3} \\ \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ 2 }{ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} } &= \dfrac{1}{3} \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4b+5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4(a-2) +5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-8+5} &= 6 \\ \sqrt{4a-3}+\sqrt{4a-3} &= 6 \\ 2\sqrt{4a-3} &= 6 \\ \sqrt{4a-3} &= 3 \\ 4a-3 &= 9 \\ a &= 3 \end{align}$
Untuk $a=3$ kita peroleh $b=a-2=1$ sehingga nilai $a+b=4$
Jawaban: $(D)\ 4$
Contoh Soal 2
Diketahui $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{x-2},\ x \neq 2 \\ 2,\ x = 2 \end{cases}$, Semua pernyataan berikut adalah benar, kecuali…
$\begin{align} (A)\ & \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1 \\ (B)\ & \lim\limits_{x \to 2} f(x) \neq f(2) \\ (C)\ & f\ \text{tidak mempunyai turunan di}\ x=2 \\ (D)\ & f\ \text{tidak kontinu di}\ x=2 \\ (E)\ & f\ \text{kontinu di}\ x=0 \end{align}$
Pembahasan:
Sebuah fungsi $f$ dikatakan kontinu dititik $a$ jika memenuhi ketiga syarat berikut:
- $f(a)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ mempunyai nilai (ada)
- $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$
Untuk menentukan jawaban, kita coba tentukan kebenaran dari setiap pilihan:
- $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$ salah, karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada, $\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)= \infty $ dan $\lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)= – \infty $
- $(B)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x) \neq f(2)$ benar, karena $f(2)=2$
- $(C)\ f\ \text{tidak mempunyai turunan di}\ x=2$ benar, karena $f$ tidak kontinu pada $x=2$ Jika suatu fungsi tidak kontinu pada $x = c$, maka fungsi tersebut tidak memiliki turunan di $x = c$
- $(D)\ f\ \text{tidak kontinu di}\ x=2$ benar, karena karena $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ tidak ada
- $(E)\ f\ \text{kontinu di}\ x=0$ benar, karena $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)=0$
Jawaban: $(A)\ \lim\limits_{x \to 2} f(x)= 1$
Contoh Soal 3
Jika $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$, maka nilai dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3}=\cdots$
$\begin{align} Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1}=A$. sehingga untuk $x=1$ berlaku:
$\begin{align} $\begin{align} $\begin{align} Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L’Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.
Jawaban: $(B)\ \dfrac{ A-2 }{4}$
(A)\ & \dfrac{ A-2 }{2} \\
(B)\ & \dfrac{ A-2 }{4} \\
(C)\ & A-2 \\
(D)\ & 2A-4 \\
(E)\ & 2A
\end{align}$
Pembahasan:
Jika kita substitusi langsung nilai $x=1$ maka nilai $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax^{2}+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
\sqrt{ax^{2}+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{a(1)^{2}+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{a+b} & = 2 \\
\end{align}$
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2}{\sqrt{ax^{2}+b}+2} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+b -4}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( a+b-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)+\left( 4-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right)\left( x-1 \right) }{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{a\left( x+1 \right) }{ \left( \sqrt{ax^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\dfrac{a\left( 1+1 \right) }{ \left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2 \right)} &= A \\
\dfrac{2a}{ \left( \sqrt{a+b}+2 \right)} &= A \\
\dfrac{2a}{ \left( 2+2 \right)} &= A \\
\dfrac{a}{ 2} &= A \\
a &= 2A \\
\end{align}$
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}-2x}{x^{2}+2x-3} \times \dfrac{\sqrt{ax^{2}+b}+2x}{\sqrt{ax^{2}+b}+2x} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ ax^{2}+b-4x^{2}}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+a+b-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+4-4}{\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( x+1 \right)}{ \left( x+3 \right)\left( \sqrt{ax^{2}+b}+2x \right)} \\
&= \dfrac{ \left( a-4 \right) \left( 1+1 \right)}{ \left( 1+3 \right)\left( \sqrt{a(1)^{2}+b}+2(1) \right)} \\
&= \dfrac{ 2A-4 }{ \left( 2 \right)\left( 2+2 \right)} \\
&= \dfrac{ A-2 }{4} \\
\end{align}$
Contoh Soal 4
Jika $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$, maka nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align} Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4}=\dfrac{3}{16}$. sehingga untuk $x=2$ berlaku:
$\begin{align} Lalu dengan mengalikan akar sekawan maka akan kita peroleh:
$\begin{align} Untuk $a=3$ dan $2a+b=4$ maka $b=-2$. Nilai $a+b=1$
Jika sudah belajar turunan fungsi, maka dapat digunakan Aturan L’Hospital yang mungkin dapat menghemat beberapa langkah.
Jawaban: $(D)\ 1$
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Pembahasan:
Jika kita substitusi langsung nilai $x=2$ maka nilai $\sqrt{ax+b}-2$ harus $0$, karena jika $\sqrt{ax+b}-2$ tidak nol maka nilai limit adalah $\infty$.
\sqrt{ax+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{2a+b}-2 & = 0 \\
\sqrt{2a+b} & = 2 \\
2a+b & = 4 \\
\end{align}$
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{ax+b}-2}{x^{2}-4} \times \dfrac{\sqrt{ax+b}+2}{\sqrt{ax+b}+2} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ ax+b -4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 2a+b-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)+ 4-4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ a }{ \left( x+2 \right)\left( \sqrt{ax+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\dfrac{ a }{ \left( 2+2 \right)\left( \sqrt{2a+b}+2 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
\dfrac{ a }{ \left( 4 \right)\left( 4 \right)} &= \dfrac{3}{16} \\
a &= 3 \\
\end{align}$
Soal UN SMA Limit Fungsi Aljabar
1. Soal UN Matematika SMA IPA 2007
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} =\cdots$
$\begin{align} Kita Kerjakan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu, Jawaban: $(E)\ -1$
$ \begin{align}
(A)\ & 3 \\
(B)\ & 2\frac{1}{2} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & -1
\end{align}$
Pembahasan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x-1 \right)\left( x-4 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( x-4 \right)}{ \left( x^{2}+x+1 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 1-4 \right)}{ \left( (1)^{2}+(1)+1 \right)} \\
& = \dfrac{-3}{3} =-1
\end{align} $
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{3}-1} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2x-5}{3x^{2}} \\
& = \dfrac{2(1)-5}{3(1)^{2}} = \dfrac{-3}{3}=-1
\end{align} $
2. Soal UN Matematika SMA IPA 2010
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^{2}-4} \right)=\cdots$
$\begin{align} Kita Kerjakan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu, Jawaban: $(B)\ \dfrac{1}{2}$
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Pembahasan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{8}{x^{2}-4} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{\left( 2x^{2}-8 \right)-\left( 8x-16 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x^{2}-4 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2x^{2}-8x+8}{\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{\left( x+2 \right)} \right) \\
& = \dfrac{2}{\left( 2+2 \right)}=\dfrac{2}{4}
\end{align} $
3. Soal UN Matematika SMA IPA 2008
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} =\cdots$
$\begin{align} Kita Kerjakan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu, Jawaban: $(C)\ 8$
$ \begin{align}
(A)\ & 32 \\
(B)\ & 16 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Pembahasan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x\ \left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ x\ \left( x+2 \right)}{1} \\
& = \dfrac{2\left( 2+2 \right)}{1}=8
\end{align} $
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-4x}{x-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3x^{2}-4}{1} \\
& = \dfrac{3(2)^{2}-4}{1} = 8
\end{align} $
4. Soal UAN Matematika SMA IPA 2004
Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{x^{2}+2x-8} \right)=\cdots$
$\begin{align} Kita Kerjakan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu, Jawaban: $(A)\ -\dfrac{1}{24}$
(A)\ & -\dfrac{7}{12} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{12} \\
(D)\ & -\dfrac{1}{24} \\
(E)\ & 0
\end{align}$
Pembahasan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{2}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{x^{2}+2x-8} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{\left( 2x^{2}+4x-16 \right)-\left( 3x^{2}-12 \right)}{\left( x^{2}+2x-8 \right)\left( x^{2}-4 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-x^{2}+4x-4}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-\left( x-2 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \left( \dfrac{-1}{\left( x+2 \right) \left( x+4 \right)} \right) \\
& = \dfrac{-1}{\left( 2+2 \right) \left( 2+4 \right)}=\dfrac{-1}{24}
\end{align} $
5. Soal UN Matematika SMA IPA 2011
$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2}=\cdots$
$\begin{align} $ \begin{align} Jawaban: $(B)\ 4$
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 4 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Pembahasan:
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)}{\sqrt{x}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( \sqrt{x}+2 \right)}{1} \\
& = \dfrac{\left( \sqrt{4}+2 \right)}{1}=4
\end{align} $
6. Soal UN Matematika SMA IPA 2006
Nilai $\lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6}=\cdots$
$\begin{align} $\begin{align} Jawaban: $(D)\ \dfrac{1}{8}$
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{8} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}
\end{align}$
Pembahasan:
& \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \\
& = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\sqrt{3x-2}-\sqrt{2x+4}}{x-6} \cdot \dfrac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4}} \\
& = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{\left( 3x-2 \right)-\left( 2x+4 \right)}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{x-6}{\left( x-6 \right)\left( \sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{2x+4} \right)} \\
& = \dfrac{1}{\left(\sqrt{3(6)-2}+\sqrt{2(6)+4} \right)} \\
& = \dfrac{1}{\left(\sqrt{16}+\sqrt{16} \right)} = \dfrac{1}{8}
\end{align}$
7. Soal UN Matematika SMA IPA 2003
- $ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}=\cdots$
$\begin{align} $\begin{align} Jawaban: $(E)\ 6$
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$
Pembahasan:
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{9-\left( x^{2}+5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{4- x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\
& = 3+\sqrt{2^{2}+5} \\
& = 3+\sqrt{9}=6
\end{align}$
8. Soal UN Matematika SMA IPA 2012
$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=\cdot$
$\begin{align} $ \begin{align} Jawaban: $(A)\ -\dfrac{1}{4}$
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$
Pembahasan:
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2-\sqrt{x+1}}{x-3} \cdot \dfrac{2+\sqrt{x+1}}{2+\sqrt{x+1}} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4-(x+1)}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{3-x}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{-1}{\left( 2+\sqrt{x+1} \right)} \\
& = \dfrac{-1}{\left( 2+\sqrt{3+1} \right)}=\dfrac{-1}{4}
\end{align} $
9. Soal UN Matematika SMA IPA 2009
Nilai $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2}=\cdots$
$\begin{align} $ \begin{align} Jawaban: $(D)\ 0,8$
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 1,2 \\
(D)\ & 0,8 \\
(E)\ & 0,4
\end{align}$
Pembahasan:
& \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x+2}{\sqrt{5x+14}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{5x+14}+2}{\sqrt{5x+14}+2}\\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+14-4} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5x+10} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5 \left( x+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -2} \dfrac{\left( \sqrt{5x+14}+2 \right)}{5} \\
& = \dfrac{\left( \sqrt{5(-2)+14}+2 \right)}{5} \\
& = \dfrac{\left( 2+2 \right)}{5}= \dfrac{4}{5}=0,8
\end{align} $
10. Soal UN Matematika SMA IPA 2019
Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5}=\cdots$
$\begin{align} $\begin{align} Jawaban: $(B)\ \dfrac{25}{9}$
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{25}{9} \\
(C)\ & \dfrac{25}{6} \\
(D)\ & \dfrac{25}{3} \\
(E)\ & \infty
\end{align}$
Pembahasan:
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-x-6}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}{\sqrt{3x^{2}-2}-5} \cdot \dfrac{\sqrt{3x^{2}-2}+5}{\sqrt{3x^{2}-2}+5}\\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3x^{2}-2 -25} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x^{2}-9 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x-3 \right)\left( x+3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{\left( x+2 \right)\left( \sqrt{3x^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( x+3 \right)} \\
& = \dfrac{\left( 3+2 \right)\left( \sqrt{3(3)^{2}-2}+5 \right)}{3 \left( 3+3 \right)} \\
& = \dfrac{\left( 5 \right)\left( \sqrt{27-2}+5 \right)}{18} \\
& = \dfrac{\left( 5 \right)\left( 10 \right)}{18} \\
& = \dfrac{25}{9}
\end{align}$
11. Soal UN Matematika SMA IPS 2015
Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} =\cdots$
$\begin{align} Kerjakan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu, Jawaban: $(B)\ 8$
$ \begin{align}
(A)\ & 16 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & -4 \\
(E)\ & -8
\end{align}$
Pembahasan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x+4 \right)\left( x-4 \right)}{ \left( x-4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ \left( x+4 \right)}{\left( 1 \right)} \\
& = \dfrac{ 4+4 }{1}=8
\end{align} $
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{x-4} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2x}{1} \\
& = \dfrac{2(4)}{1} = 8
\end{align} $
12. Soal UN Matematika SMA IPS 2017
$\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}}=\cdots$
$\begin{align} $ \begin{align} Jawaban: $(A)\ -16$
(A)\ & -16 \\
(B)\ & -4 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 16 \\
(E)\ & 32
\end{align}$
Pembahasan:
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{x^{2}-16}{1-\sqrt{x-3}} \cdot \dfrac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt{x-3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{1-\left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{4-x} \\
& = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( 1+\sqrt{x-3} \right)}{-\left( x-4 \right)} \\
& = \dfrac{ \left( 4+4 \right)\left( 1+\sqrt{4-3} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ \left( 8 \right)\left( 2 \right)}{-1} =-16
\end{align} $
13. Soal UN Matematika SMA IPS 2014
Nilai $\lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} =\cdots$
$\begin{align} Kerjakan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu, Jawaban: $(B)\ -\dfrac{1}{2}$
$ \begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{7}{8} \\
(D)\ & \dfrac{3}{2} \\
(E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$
Pembahasan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)}{ \left( 2 \right)\left( x+4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{ \left( x+3 \right)}{\left( 2 \right)} \\
& = \dfrac{ -4+3 }{2}=\dfrac{ -1 }{2}
\end{align} $
& \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{x^{2}+7x+12}{2x+8} \\
& = \lim\limits_{x \to -4} \dfrac{2x+7}{2} \\
& = \dfrac{2(-4)+7}{2} = \dfrac{-1}{2}
\end{align} $
14. Soal UN Matematika SMA IPS 2017
Nilai $\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} =\cdots$
$\begin{align} Kerjakan dengan cara memfaktorkan terlebih dahulu, $ \therefore $ Jawaban yang sesuai adalah $(C)\ 2$
Cara Cepat! (Aturan L’Hospital)
(A)\ & -2 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
Pembahasan:
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2 \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}{ \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2 \left( x+1 \right)}{ \left( x+1 \right)} \\
& = \dfrac{ 2(3+1) }{3+1}=2
\end{align} $
$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{2x^{2}-4x-6}{x^{2}-2x-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{4x-4}{2x-2} \\
& = \dfrac{4(3)-4}{2(3)-2}=\dfrac{8}{4}=2
\end{align} $
15. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$
$\begin{align} Catatan calon guru tentang limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:
$ \begin{align} $ \begin{align} Jawaban: $(A)\ \dfrac{A}{2}$
(A)\ & \dfrac{A}{2} \\
(B)\ & \dfrac{A}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{A+2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{A+3}{3} \\
\end{align}$
Pembahasan:
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )- 2 &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right ) &= A+2
\end{align} $
& \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\
&= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2}
\end{align} $
